| 正如之前在博客上讨论的那样，迭代方法有效地消除了振荡误差分量，同时几乎不影响平滑的分量（平滑特性）。特别地，多网格方法使用平滑特性、嵌套迭代和残差校正来优化收敛性。在把这个众所周知的谜题的所有部分放在一起之前，我们需要引入残差校正，并深入到嵌套迭代中。让我们从这些元素中的后一个开始。 Nested Iteration 在我们之前的博客文章中，我们解释了的振荡波在较粗糙的网格上表现为更平滑的波（已用于表示具有间距的网格）。在同一条线上，我们可以证明上的光滑波在上看起来更具振荡性。当收敛开始停滞时，转移到更粗糙的网格是一个好主意。上的主要平滑波在上会显得更具振荡性，其中迭代方法的平滑特性使其更有效。 因此，粗网格可以用于生成改进的初始猜测，如以下嵌套迭代过程所示：
嵌套迭代似乎是一个很好的过程，但一旦我们在精细网格上，如果我们仍然有平滑的误差分量，并且收敛开始停滞，会发生什么？残差方程就在这一点上，多重网格方法向我们展示了如何将其与嵌套迭代有效地结合使用。 The Residual Equation and Coarse Grid Correction当我们计算近似解时，解是未知的，代数误差的范数是衡量迭代方法收敛到解的程度的指标。（方程也可以写成。）由于代数误差也是未知的，我们必须依赖于一个可以计算的测量：残差。 经过一些代数运算，我们确定了和之间的重要关系：残差方程。残差方程很重要，因为它将引导我们引入残差校正的思想。也就是说，我们计算近似解，直接通过残差方程求解，然后使用代数误差的定义计算新的近似解：。 此外，使用残差方程，我们可以直接对误差进行迭代，并使用残差校正来改进近似解。在迭代的同时，如果平滑误差分量仍然存在，收敛最终将开始停滞。然后，我们可以在较粗的网格上迭代残差方程，返回并更正此处首先获得的近似解。该过程称为粗网格校正，包括以下步骤：
我们现在知道当收敛开始在最好的网格上停滞时该怎么办了！ 上面概述的粗略网格校正可以用以下图表表示： Our First Multigrid Method: The V-Cycle关于粗网格校正，还有一个问题：如果我们在粗网格上没有达到所需的误差收敛，该怎么办？ 让我们思考一下。在粗网格上求解残差方程与求解新方程没有任何不同。我们可以在上对残差方程应用粗网格校正，这意味着我们需要校正步骤。如果在上可以直接求解，我们就不需要再应用粗网格校正，我们的求解方法将看起来像V，如下图所示。 这种求解方法被称为V循环多重网格。很明显，多重网格方法本质上是递归的，并且V循环可以扩展到两个以上的级别。粗略的网格步长比精细的网格步长计算得更快，而且当我们深入到它们时，误差收敛得更快。 由于在粗略网格上花费更多的精力是有回报的，因此可以引入一种称为W循环的方法，其中计算在粗略步骤上停留的时间更长。如果最深V循环的初始猜测是从较浅的V循环中获得的，那么我们就有了所谓的全多重网格循环（FMG）。虽然FMG是一种更昂贵的方法，但它也允许比V循环和W循环更快的收敛。 Reviewing the Different Multigrid Methods在这里，我们以最简单的形式介绍了V循环、W循环和FMG。为了解决复杂的多重物理问题并达到最佳性能，多重网格方法并不是单独使用的。它们还可以用于提高其他迭代方法的收敛性。这就是COMSOL Multiphysics中隐藏的情况。 多重网格方法组合在一起的技术已经使用了很长一段时间，并且以其局限性而闻名。多重网格方法的美妙之处在于它们的简单性，以及它们以克服局限性的方式集成了所有这些思想，产生了一种比元素总和更强大的算法。 |
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